B) Variance des composantes
1 ) L'application de la matrice de transformation
à celle des variables standard X donne la matrice des
composantes
:
=
Les variances de telles composantes sont égales aux racines latentes j. Rappelons que les variances des composantes sont
(3)
2) L'application de la matrice de transformation
à celle des variables standard X donne la matrice des
composantes
:
=
À la suite du théorème 4 de l'article 2.6.4, on montre que les variances de ces facteurs sont égales aux carrés des racines latentes. On a ici, d'après les relations précédentes, I'expression des variances des composantes:
Pour rendre les variances égales à ce qu'elles sont dans le cas de la transformation unitaire F1 il est nécessaire de les diviser par Λ. On écrit donc
=
=
(4)
Rapprochant les expressions (3) et (4), on observe donc la relation intéressante suivante entre F1 et Fλ:
On retient donc les relations symboliques Y = Y1 = Yλ Λ-1
On a pu constater, que
affiche dans l'immédiat plus d'informations intéressantes
que
en particulier en ce qui a trait aux variances des composantes
et aux corrélations entre les variables. C'est pourquoi on
préfère souvent interpréter la nature des
composantes à partir de
plutôt que de
.
Cependant, à l'occasion du calcul de scores factoriels qui
respectent la somme initiale des variances, il est nécessaire
d'utiliser la matrice de transformation unitaire
3) Les v variables de X sont standard alors que les
composantes ont des variances égales aux racines latentes
On
sait de plus que
v =
On pourra trouver utile dans certains cas de rendre standard ces composantes. Il suffit pour cela de diviser les éléments de chaque composante par l'écart type correspondant λi1/2. D'où les composantes standard seront
=
=
=
=
C'est souvent cette dernière expression qu'on utilise dans les logiciels stastiques pour établir la matrice des composantes standard ou des scores factoriels standard. Cette opération offre l'avantage de rendre comparables les divers scores d'un sujet et facilite l'identification des composantes.