· Une variable et deux populations indépendantes a) Le test de comparaison de moyennes
En ce qui concerne le cas où une seule variable est étudiée, le test de comparaison de moyennes est la statistique classique lorsque deux populations sont concernées.
L'analyste dispose des données suivantes :
- deux populations A et B respectivement d'effectifs Na et Nb;
- la moyenne de la variable étudiée est a dans la population A et b dans la population B.
- la variance de la variable analysée est sa2 pour A et sb2 pour B.
Dans la mesure où l'on estime que
a
et
b
suivent une loi normale, respectivement de moyenne µa
et µb et de variance sa2 et
sb2, on montre que la différence D =
a
-
b
suit également une loi normale de moyenne µa - µb et de variance:
sD2 = [sa2 /Na + sb2 /Nb] » [sa2 /Na + sb2 /Nb]
L'intervalle de confiance de la différence de moyenne au risque a est donné par :
µa-µb =
a-b
± za/2[sa2/Na+sb2/Nb]1/2
(18)
L'hypothèse nulle Ho correspond au cas où la différence D = µa - µb de moyennes est nulle. Sous Ho, la variable réduite devient :
Z (a-b)/[sa2/Na+sb2/Nb]1/2 (19)
La valeur z ainsi calculée doit être comparée avec la valeur lue dans la table normale réduite pour le seuil de confiance désiré et compte tenu du caractère unilatéral ou bilatéral du test. Pour un test bilatéral par exemple, Ho sera rejeté au seuil de risque de 5 % si |z| > 1,96.